【概要描述】相交于原點(diǎn)的兩條數軸，構成了平面放射坐標系。如兩條數軸上的度量單位相等，則稱(chēng)此放射坐標系為笛卡爾坐標系。兩條數軸互相垂直的笛卡爾坐標系，稱(chēng)為笛卡爾直角坐標系，否則稱(chēng)為笛卡爾斜角坐標系。
【概要描述】相交于原點(diǎn)的兩條數軸，構成了平面放射坐標系。如兩條數軸上的度量單位相等，則稱(chēng)此放射坐標系為笛卡爾坐標系。兩條數軸互相垂直的笛卡爾坐標系，稱(chēng)為笛卡爾直角坐標系，否則稱(chēng)為笛卡爾斜角坐標系。
笛卡爾坐標系（Cartesian coordinates，法語(yǔ)：les coordonnées cartésiennes）就是直角坐標系和斜坐標系的統稱(chēng)。
相交于原點(diǎn)的兩條數軸，構成了平面放射坐標系。如兩條數軸上的度量單位相等，則稱(chēng)此放射坐標系為笛卡爾坐標系。兩條數軸互相垂直的笛卡爾坐標系，稱(chēng)為笛卡爾直角坐標系，否則稱(chēng)為笛卡爾斜角坐標系。
笛卡爾坐標系就是直角坐標系和斜角坐標系的統稱(chēng)。 相交于原點(diǎn)的兩條數軸，構成了平面放射坐標系。如兩條數軸上的度量單位相等，則稱(chēng)此放射坐標系為笛卡爾坐標系。兩條數軸互相垂直的笛卡爾坐標系，稱(chēng)為笛卡爾直角坐標系，否則稱(chēng)為笛卡爾斜角坐標系。需要指出的是，請將數學(xué)中的笛卡爾坐標系與電影《異次元殺陣》中的笛卡爾坐標相區分，電影中的定義與數學(xué)中定義有出入，請勿混淆。
二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、0 點(diǎn)重合的數軸構成的。在平面內，任何一點(diǎn)的坐標是根據數軸上對應的點(diǎn)的坐標設定的。在平面內，任何一點(diǎn)與坐標的對應關(guān)系，類(lèi)似于數軸上點(diǎn)與坐標的對應關(guān)系。采用直角坐標，幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來(lái)。幾何形狀的每一個(gè)點(diǎn)的直角坐標必須遵守這代數公式。
二維的直角坐標系通常由兩個(gè)互相垂直的坐標軸設定，通常分別稱(chēng)為 x-軸
和 y-軸；兩個(gè)坐標軸的相交點(diǎn)，稱(chēng)為原點(diǎn)，通常標記為 O ，既有“零”的意思，又是英語(yǔ)“Origin”的首字母。每一個(gè)軸都指向一個(gè)特定的方向。這兩個(gè)不同線(xiàn)的坐標軸，決定了一個(gè)平面，稱(chēng)為 xy-平面，又稱(chēng)為笛卡爾平面。通常兩個(gè)坐標軸只要互相垂直，其指向何方對于分析問(wèn)題是沒(méi)有影響的，但習慣性地（見(jiàn)右圖），x-軸被水平擺放，稱(chēng)為橫軸，通常指向右方；y-軸被豎直擺放而稱(chēng)為縱軸，通常指向上方。兩個(gè)坐標軸這樣的位置關(guān)系，稱(chēng)為二維的右手坐標系，或右手系。如果把這個(gè)右手系畫(huà)在一張透明紙片上，則在平面內無(wú)論怎樣旋轉它，所得到的都叫做右手系；但如果把紙片翻轉，其背面看到的坐標系則稱(chēng)為“左手系”。這和照鏡子時(shí)左右對掉的性質(zhì)有關(guān)。
為了要知道坐標軸的任何一點(diǎn)，離原點(diǎn)的距離。假設，我們可以刻畫(huà)數值于坐標軸。那么，從原點(diǎn)開(kāi)始，往坐標軸所指的方向，每隔一個(gè)單位長(cháng)度，就刻畫(huà)數值于坐標軸。這數值是 刻畫(huà)的次數，也是離原點(diǎn)的正值整數距離；同樣地，背著(zhù)坐標軸所指的方向，我們也可以刻畫(huà)出 離原點(diǎn)的負值整數距離。稱(chēng) x-軸刻畫(huà)的數值為 x-坐標，又稱(chēng)橫坐標，稱(chēng) y-軸刻畫(huà)的數值為 y-坐標，又稱(chēng)縱坐標。雖然，在這里，這兩個(gè)坐標都是整數，對應于坐標軸特定的點(diǎn)。按照比例，我們可以推廣至實(shí)數坐標 和其所對應的坐標軸的每一個(gè)點(diǎn)。這兩個(gè)坐標就是直角坐標系的直角坐標，標記為(x，y)。
任何一個(gè)點(diǎn) P 在平面的位置，可以用直角坐標來(lái)獨特表達。只要從點(diǎn) P
畫(huà)一條垂直于 x-軸的直線(xiàn)。從這條直線(xiàn)與 x-軸的相交點(diǎn)，可以找到點(diǎn) P 的 x-坐標。同樣地，可以找到點(diǎn) P 的 y-坐標。這樣，我們可以得到點(diǎn) P 的直角坐標。
直角坐標系也可以推廣至三維空間（3 dimension）與高維空間 (higher dimension) 。
直角坐標系的兩個(gè)坐標軸將平面分成了四個(gè)部分，稱(chēng)為象限，分別用羅馬數字編號為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。依照慣例，象限Ⅰ的兩個(gè)坐標都是正值；象限Ⅱ的 x-坐標是負值， y-坐標是正值；象限Ⅲ的兩個(gè)坐標都是負值的；象限Ⅳ的 x-坐標是正值， y-坐標是負值。所以，象限的編號是按照逆時(shí)針?lè )较?，從象限Ⅰ編到象限Ⅳ?/span>
放射坐標系和笛卡爾坐標系平面向空間的推廣：相交于原點(diǎn)的三條不共面的數軸構成空間的放射坐標系。三條數軸上度量單位相等的放射坐標系被稱(chēng)為空間笛卡爾坐標系。三條數軸互相垂直的笛卡爾坐標系被稱(chēng)為空間笛卡爾直角坐標系，否則被稱(chēng)為空間笛卡爾斜角坐標系。
空間直角坐標系
為了溝通空間圖形與數的研究，我們需要建立空間的點(diǎn)與有序
數組之間的聯(lián)系，為此我們通過(guò)引進(jìn)空間直角坐標系來(lái)實(shí)現。 過(guò)定點(diǎn)O，作三條互相垂直的數軸，它們都以O為原點(diǎn)且一般具有相同的長(cháng)度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統稱(chēng)坐標軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線(xiàn)；它們的正方向要符合右手規則，即以右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以π/2角度轉向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標軸就組成了一個(gè)空間直角坐標系，點(diǎn)O叫做坐標原點(diǎn)。這樣就構成了一個(gè)笛卡爾坐標。
在三維笛卡爾坐標系中，三個(gè)平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，將三維空間分成了八個(gè)部分，稱(chēng)為卦限(octant) 空。第Ⅰ卦限的每一個(gè)點(diǎn)的三個(gè)坐標都是正值。
據說(shuō)有一天，法國哲學(xué)家、數學(xué)家笛卡爾生病臥床，病情很重，盡管如此他還反復思考一個(gè)問(wèn)題：幾何圖形是直觀(guān)的，而代數方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數方程結合起來(lái)，也就是說(shuō)能不能用幾何圖形來(lái)表示方程呢？要想達到此目的，關(guān)鍵是如何把組成幾何圖形的點(diǎn)和滿(mǎn)足方程的每一組“數”掛上鉤，他苦苦思索，拼命琢磨，通過(guò)什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數”聯(lián)系起來(lái)。突然，他看見(jiàn)屋頂角上的一只蜘蛛，拉著(zhù)絲垂了下來(lái)，一會(huì )功夫，蜘蛛又順著(zhù)絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開(kāi)朗。他想，可以把蜘蛛看做一個(gè)點(diǎn)，它在屋子里可以上、下、左、右運動(dòng)，能不能把蜘蛛的每個(gè)位置用一組數確定下來(lái)呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線(xiàn)，如果把地面上的墻角作為起點(diǎn)，把交出來(lái)的三條線(xiàn)作為三根數軸，那么空間中任意一點(diǎn)的位置就可以用這三根數軸上找到有順序的三個(gè)數。反過(guò)來(lái)，任意給一組三個(gè)有順序的數也可以在空間中找出一點(diǎn)P與之對應，同樣道理，用一組數（x、y）可以表示平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)也可以有用一組兩個(gè)有順序的數來(lái)表示，這就是坐標系的雛形。
直角坐標系的創(chuàng )建，在代數和幾何上架起了一座橋梁，它使幾何概念用數來(lái)表示，幾何圖形也可以用代數形式來(lái)表示。由此笛卡爾在創(chuàng )立直角坐標系的基礎上，創(chuàng )造了用代數的方法來(lái)研究幾何圖形的數學(xué)分支——解析幾何， 他大膽設想：如果把幾何圖形看成是動(dòng)點(diǎn)的運動(dòng)軌跡，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特征的點(diǎn)組成的。舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)，我們可以把圓看作是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，如果我們再把點(diǎn)看作是組成幾何圖形的基本元素，把數看作是組成方程的解，于是代數和幾何就這樣合為一家人了。
笛卡爾在《方法談》一書(shū)附錄的《幾何學(xué)》這篇論文中，闡述了解析幾何的基本原理，創(chuàng )造了笛卡爾坐標系。
在笛卡爾以前，幾何和代數是兩門(mén)科學(xué)，幾何研究圖形，代數研究數。笛卡爾不滿(mǎn)意這兩門(mén)科學(xué)孤立研究的抽象性，企圖使二者聯(lián)系起來(lái)，并使它們具體化。他通過(guò)他所設計的坐標系統標示法，以及他對于變數的深入研究，證明幾何問(wèn)題可以歸結為代數問(wèn)題，在求解時(shí)可以運用全部代數方法。從此，變數被引進(jìn)了數學(xué)，成為數學(xué)發(fā)展中的轉折點(diǎn)，為微積分的出現創(chuàng )造了條件。笛卡爾坐標系被廣泛地應用在工程技術(shù)和物理學(xué)領(lǐng)域中。
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